Так зачем же всё-таки нужны интегралы?

Ответ на вопрос, интересующий всех еще со школы.

Очень часто встречаются рассуждения, вроде: „Зачем необходимо знать философию, если у меня техническая специальность?“ или „Я не понимаю, как мне в жизни могут пригодиться разборы произведений классической литературы“. Но безоговорочным лидером является математика, никто не знает, почему „Математика - царица наук“ и зачем нужно уметь считать интегралы. Более того, неясно, где интегралы применяются на практике. Сегодня попробуем во всем этом разобраться.

Можно найти примеры применения математических законов в разных сферах человеческой жизнедеятельности. Я хотел бы попытаться объяснить интегрирование через воду, а точнее через измерение и мониторинг ее качества. Для начала нужно разобраться что такое общий органический углерод и как он связан с качеством воды. Общий органический углерод выражает, в виде концентрации, содержание всех органических соединений в воде. Он является важнейшим индикатором чистоты. Допустимые концентрации закреплены законодательно, а воду с высоким содержанием органических соединений запрещено сбрасывать в водоемы.

Что представляют из себя эти соединения и почему так важно знать их концентрацию? Органикой считаются вещества, содержащие углерод (С). Бытовым примером являются продукты питания. Также можно упомянуть природные источники. Например, если после сбора картошки промыть ее водой, то количество органических соединений в воде увеличится.

Концентрации, если мы говорим о производстве, необходимо знать для того, чтобы не получить штраф за сброс загрязненной воды в реку или озеро. Если смотреть глобальнее, то для разработки системы очистки воды необходимо провести количественный и качественный анализы. Говоря иначе, понимать, что в ней содержится и в каком количестве.

Поговорим, о массовом производстве картофеля. Его выращивают, собирают, промывают от земли, сортируют и упаковывают. После промывки воду нельзя просто так слить в водоем, так как она загрязнена, ее нужно сначала очистить.

Почему такое загрязнение опасно? Из-за повышения в воде биологический активности. В озере живет бесчисленное количество бактерий. Картофель является пищей для нас, а органика - для них. Если есть очень много картофеля, можно набрать вес. Соответственно, если бактерии в озере получат слишком много пищи, они размножатся. В результате размножения они начнут потреблять больше кислорода, тогда как рыбам будет не хватать кислорода, что приведет к их гибели. В дальнейшем это может стать причиной заболачивания и смерти водоема. Этот процесс назвается эвтрофирование. Чтобы избежать этого, не нужно сливать туда большое количество неочищенной воды после промывки картофеля.

По тому же сценарию это работает и с водой от производства пива, молока, сыра и других продуктов питания. Разумеется, это касается и сточной воды. Фекалии - отличный корм для бактерий.

Для сохранения водоемов нужно очищать воду, а чтобы ее правильно очищать, нужно знать сколько в ней органических соединений. Итак, как это измерить и, при чем тут интеграл?

Измерение можно провести с помощью специального прибора для мониторинга качества воды. Прибор берет пробу воды, за несколько минут проводит измерение и, вот, уже известна концентрация. Ниже представлено само устройство.

Без интегрирования прибор не смог бы определить степень загрязненности воды и, возможно, водоемы бы гибли один за другим. Для того, чтобы докопаться до истины, нам придется углубиться в прибор и понять, по какому принципу строится измерение.

При окислении углерода (С) образуется углекислый газ (СО2). Окисление в данном случае можно заменить на горение или сжигание. Если сжечь С, получим СО2. Реакция выглядит следующим образом:

Это ключевой момент. Если сжечь ту воду, которая осталась после промывки картофеля, то получим углекислый газ и пар. Именно это и делает устройство. Прибор знает зависимость концентрации органических веществ в воде от количества углекислого газа, выделяемого при их сжигании. Зависимость линейна и может быть определена путем одного контрольного измерения. Cпециалист, работающий с устройством, готовит раствор с заранее известной концентрацией органических веществ, затем сжигает его в приборе, и далее прибор строит линейную зависимость С от СО2, которая впоследствии берется за основу. Упрощенно говоря, измерение строится от обратного. Первоначально необходимо измерить сколько СО2 выделится при известном количестве С, чтобы потом измерять неизвестные концентрации С. Как уже упоминалось выше, зависимость линейна, соответственно, чем больше органических веществ содержится в воде, тем больше углекислого газа выделится при ее сжигании.

Забирается вода с помощью специальной роботизированной системы. По сути, это шприц со стальной иглой, двигающийся по горизонтальной оси. Он перемещается до сосуда с пробой, опускается, забирает небольшой объем, потом поднимается и направляется к печи. Далее впрыскивает пробу в печь. Проба сжигается при температуре 1200 градусов Цельсия. Прибор измеряет количество выделенного углекислого газа, а затем, по заранее определенной зависимости, сопоставляет какой концентрации соответствует выделенное количество газа.

Теперь необходимо отправиться на последний уровень. Проблема интеграла в том, что он всегда где-то глубоко. Лежит не на поверхности. Но мы уже близко. Остался финальный рывок.

Итак, что значит измерить количество углекислого газа? В каких единицах измерения это количество выражено? Как оно выглядит в реальном времени? Начнем с последнего, выглядит оно, следующим образом:

По оси У, обозначен диапазон охвата прибора от 0 до 100 процентов, где 100 процентов — это максимальное количество углекислого газа, которое может быть измерено. По оси Х, обозначено время. Кривая начинает идти вверх при измерении первых молекул углекислого газа.

Предположим, что вы сидите за компьютером, а кто-то готовит вам пасту на кухне. Вдруг в пасту добавляется красное вино. Сидя за компьютером, вы сначала слегка чувствуете запах вина, потом до вас доходит кульминационная часть, далее запах начинает потихоньку пропадать, в итоге вы уже совсем не чувствуете, что в пасту когда-то было добавлено вино.

Заменим запах вина на углекислый газ и получим понимание графика выше. Сначала прибор измеряет первые молекулы углекислого газа, потом основную часть и далее остаточные частички.

Количеством углекислого газа является площадь под графиком. Она выделена красным цветом. Посчитать площадь, например прямоугольника, достаточно просто. Скажем, длина 3 сантиметра, ширина 2. Три умножаем на 2 - получаем 6. Сантиметр на сантиметр - сантиметр в квадрате, и это - единица измерения площади.

А как посчитать площадь кривой, образованной процессом, описанным выше? Ответ, прост: интегрированием. Так как фигура на графике значительно сложнее прямоугольника, интеграл необходим для расчета площади под кривой. В моем примере эта кривая образована сжиганием воды с органическими соединениями. Процесс выделения углекислого газа, образованного при сжигании, описан математически и изображен графически. Единицы измерения в данном случае — это проценты помноженные на время (%*с)

Возможно, математика – это не самая захватывающая наука по сравнению с физикой, химией, механикой или электротехникой. Можно рассматривать химические реакции и вещества, образованные в результате этих реакций, проектировать приборы и программировать роботизированные системы, но все это было бы проблематично, не имей мы некую сухую точу отсчета. Математика – это средство описания мира вокруг нас, она помогает изложить интересные процессы на бумаге, в краткой и сухой форме, а также выразить некие сложные величины в количественном виде.

Вполне вероятно, что без интегралов, вода, которую мы пьем, была бы не пригодна к употреблению. Так проникнемся же к ним уважением.